Generacja i adaptacja siatek obliczeniowych
Celem obliczeń za pomocą metody elementów skończonych jest przeprowadzenie symulacji wybranego zjawiska fizycznego na zadanym obszarze. Ponadto, zadanie projekcji, takie jak to przedstawione w modułach wprowadzających w podręczniku, ma zastosowania w grafice komputerowej.
- obliczenie rozkładu temperatory na wybranej części poddanej obróbce termicznej
- obliczenie naprężeń określonej części konstrukcji budowlanej
- obliczenie odkształceń projektowanego telefonu komórkowego podczas uderzenia o podłoże
- obliczenie odkształceń modelu samochodu podczas wypadku drogowego
- obliczenie pola przepływu krwi w projektowanym bajpasie w centralnym układzie krążenia
- obliczenie propagacji fal akustycznych na modelu głowy ludzkiej, włączając w to model ucha wewnętrznego
- obliczenie propagacji fal elektromagnetycznych na modelu głowy ludzkiej podczas rozmowy przez telefon komórkowy
i wiele innych zastosowań, inżynieryjnych i naukowych.
Każda z tych symulacji wymaga wygenerowania siatki obliczeniowej pokrywającej określony obszar elementami skończonymi.
Klasyczne generatory siatek obliczeniowych generują najczęściej siatki zbudowane z elementów trójkątnych w dwóch wymiarach, oraz siatki zbudowane z elementów czworościennych w trzech wymiarach. Stosuje się również siatki zbudowane z elementów prostokątnych w dwóch wymiarach oraz sześciennych w trzech wymiarach, oraz dodatkowo elementy pryzmatyczne i piramidy. Teoretycznie możliwe jest również tworzenie elementów skończonych zbudowanych z dowolnych wieloboków w dwóch wymiarach lub wielościanów w trzech wymiarach.
Siatki obliczeniowe zbudowane z dowolnych elementów powinny posiadać określone właściwości.
- Musimy potrafić zdefiniować funkcje, zwane często funkcjami kształtu, rozpięte na elementach skończonych. Funkcje kształtu rozpinać można na wiele sposobów, można wiązać je z wierzchołkami, krawędziami, ścianami i wnętrzami elementów (na przykład wielomiany hierarchiczne Lagrange'a). Funkcje kształtu najczęściej są wielomianami. W przypadku stosowania metody Galerkina (klasycznej wersji metody elementów skończonych) odpowiednie funkcje kształtu z sąsiednich elementów, związane z krawędziami lub ścianami scalane są w globalne funkcje bazowe używane do aproksymacji rozwiązania. W przypadku gdy chcemy aby kombinacja liniowa naszych funkcji bazowych posiadała wyższą ciągłość (aby w każdym punkcie dało się policzyć pochodną) wówczas funkcje te rozpina się na wielu sąsiednich elementach (na przykład funkcje bazowe B-spline). Dlatego też na siatkach trójkątnych lub czworościennych trudno jest zdefiniować funkcje bazowe wyższej ciągłości.
- Musimy potrafić całkować dokładnie nasze funkcje kształtu rozpięte na elementach. Oznacza to iż musimy potrafić zdefiniować kwadratury do całkowania numerycznego, posiadające skończoną liczbę punktów, ściśle określonych, tak aby dało się scałkować wielomiany z błędem zerowym na danym elemencie. Dlatego też przetwarzanie siatek zbudowanych z wieloboków lub wielościanów jest problematyczne (ale możliwe). Całkowanie numeryczne nie musi być dokładne (np. trudno jest policzyć całki numeryczne z zerowym błędem na "pokrzywionych" rozmaitościach) ale błąd całkowania musi być odpowiednio niskiego rzędu, żeby zagwarantować zbieżność rozwiązania.
- Elementy skończone muszą mieć odpowiednie proporcje. Nie jest dobrze jeśli element skończony będzie za bardzo wydłużony. Miarą "wydłużenia" elementu jest obliczenie pola lub objętości elementu za pomocą całki \( \int_E 1 d{\bf x} \). Jeśli pole lub objętość elementu są małe (rzędu \( 10^{-6} \) lub mniej), wówczas taki element generować będzie problemy numeryczne. W szczególności jeśli wygenerujemy na naszej siatce macierz używaną w obliczeniach metody elementów skończonych, wówczas macierz ta bedzie posiadała małe liczby, i podczas faktoryzacji solwer np. eliminacji Gaussa przewróci się (co będzie się objawiało występowaniem wartości bliskich zeru na przekątnej macierzy i brak możliwości podzielenia wiersza macierzy). W przypadku siatek nieregularnych bada się stosunek średnicy okręgu opisanego do średnicy okręgu wpisanego. Różne teorie matematyczne opisujące zbieżność metody elementów skończonych zakładają określone proporcje tych średnic w celu zagwarantowania zbieżności metody.
- Elementy skończone tworzące siatkę obliczeniową nie mogą mieć zduplikowanych wierzchołków, krawędzi i ścian. Podczas obliczeń metodą elementów skończonych obliczamy całki po całym obszarze obliczeniowym. Całki te są rozbijane na poszczególne elementy skończone i sumowane. Jeśli pewne elementy bedą zduplikowane, w sumie możemy uzyskać niepoprawnie policzoną całkę. Ponadto niewiadome w układzie równań są często związane ze współczynnikami funkcji bazowych związanych z wierzchołkami, krawędziami lub ścianami elementów. Ponadto funkcje bazowe używane w metodzie elementów skończonych są sklejane z kawałków zwanych funkcjami kształtu rozpiętych na poszczególnych elementach. Jeśli obiekty w naszej strukturze danych reprezentujące wierzchołki, krawędzie lub ściany są zduplikowane, może to prowadzić do zduplikowanie niewiadomych w układzie równań, oraz do rozcięcia naszych funkcji bazowych na kawałki zwiazane z poszczególnymi elementami. Będzie to prowadziło do niepoprawnych wyników obliczeń za pomocą metody elementów skończonych.
- Podczas obliczeń metodą elementów skończonych tworzy się często regularny "patch" (łata) elementów na przykład tworzących regularny prostokąt lub kostkę, i ten "patch" mapowany jest za pomocą transformacji na prawdziwą geometrię naszego modelowanego obszaru za pomocą określonego odwzorowania. Wówczas geometria naszego obiektu "zakodowana" jest w postaci jakobianu zmiany zmiennych z obszaru modelowanego na nasz "patch". Wymaga to oczywiście pewnych regularności siatki pokrywającej obszar fizyczny. W szczególności nie jest to zawsze możliwe do uzyskania dla siatek zbudowanych z elementów trójkątnych i czworościennych. Dla elementów trójkątnych i czworościennych całkowanie odbywa się po pojedynczym elemencie (nie trzeba konstruować łat "patchów") i transformacje do przestrzeni odniesienia dokonywane są dla pojedynczych elementów, co zawsze daje się wykonać.
- Suma wszystkich elementów skończonych musi pokrywać cały obszar (nie chodzi tutaj tylko o brak zachodzenia na siebie, czy duplikowania elementów, ale też o brak dziur między elementami – jest to ważne np. dla obszarów krzywoliniowych, rozmaitości)
- Podczas stosowania systemów CAD (Computer Aided Design) geometria modelowanego obiektu jest określona za pomocą obiektów CADowskich, opisanych za pomocą funkcji B-spline, NURBS lub T-spline (lub podobnych), dla których znane są transformacje mapujące te obiekty na regularne patche elementów. Są one automatycznie tworzone przez systemy CADowskie podczas projektowania takich obiektów. Umożliwia to łatwą dekompozycję stworzonego obiektu na regularne patche elementów i nastepnie wykonywanie obliczeń za pomocą izogeometrycznej metody elementów skończonych. Mamy więc w tym przypadku zestaw parametrów funkcji bazowych (B-spline lub NURBS) które opisują geometrię mapowanego obiektu, oraz drugi zestaw parametrów tych samych funkcji bazowych które opisują aproksymowane wielkości fizyczne.
Jedną z często używanych metod generacji siatki obliczeniowej zbudowanej z elementów trójkątnych jest triangulacja Delauneya. Bazując na idei Delauneya aktualnie wciąż rozwija się całą szkołę generacji i adaptacji siatek obliczeniowych [1] [2].
Siatka obliczeniowa zbudowana za pomocą triangulacji Delauneya zbudowana jest z elementrów trójkątnych w dwóch wymiarach. Na każdym elemencie trójkątnym możemy rozpiąć okrąg (ponieważ możliwe jest rozpięcie okręgu na dowolyuch trzech punktach. Triangulacja Delauneya w dwóch wymiarach posiada następującą własność, okręgi opisane na trójątach triangulacji Delauneya nie zawierają punktów wierzchołków innych trójkątów.
Możliwe jest również skonstruowanie triangulacji Delauneya w trzech wymiarach. Wówczas siatka obliczeniowa zbudowana jest z elementów czworościennych. Na wierzchołkach elementu czworościennego możemy rozpiąć kulę (do rozpięcia kuli potrzebujemy bowiem czterech punktów). Triangulacja Delauneya w trzech wymiarach posiada z koleji następującą własność, kule opisane na czworościanach Delauneya nie będą zawierały punktów wierzchołków innych czworościanów.